如图.在矩形ABCD中.AO=3.OC=4.以O为坐标原点.OC为x轴.OA为y轴建立平面直角坐标系．设D.E分别是线段AC.OC上的动点.它们同时出发.点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动.点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动.设运动时间为t秒．(1)求直线AC的解析式,(2)用含t的代数式表示点D.点E的坐标,(3)当以O.D.E三点为顶点的三角形是直角三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在矩形ABCD中，AO=3，OC=4，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D，点E的坐标；
（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．

考点：一次函数综合题,解一元二次方程-公式法,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：（1）由题可得点A、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（2）过点D作DH⊥OC于点H，如图1，由题可得AC、AD、CD、CE、OE的长，就可用含t的代数式表示点E的坐标，易证△HCD∽△OCA，根据相似三角形的性质可求得DH、CH，从而得到OH，就可用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）可分三种情况（①∠DOC=90°，②∠ODE=90°，③∠DEO=90°）讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵AO=3，OC=4，
∴点A（0，3），点C（4，0），
∴

b=3

4k+b=0

，
解得：

k=-

b=3

，
∴直线AC的解析式为y=-

x+3．

（2）过点D作DH⊥OC于点H，如图1，
由题可知：AD=3t，CE=t，
∵OC=4，∴OE=OC-EC=4-t，
∴点E的坐标为（4-t，0）．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=90°，OA=3，OC=4，
∴AC=

OA2+OC2

=5．
∵∠DHC=∠AOC=90°，∠HCD=∠OCA，
∴△HCD∽△OCA，
∴

，
∴

5-3t

，
∴DH=

15-9t

，CH=

20-12t

，
∴OH=OC-CH=4-

20-12t

12t

，
∴点D的坐标为（

12t

，

15-9t

）．

（3）①若∠DOC=90°，
则∠DOC=∠AOC=90°，
∴点D与点A重合，
∴AD=3t=0，即t=0．
②若∠ODE=90°，如图1．
∵DH⊥OC，
∴∠DHO=∠DHE=90°，
∴∠ODH=90°-∠HDE=∠HED，
∴△DHO∽△EHD，
∴

，
∴DH²=OH•EH，
∴（

15-9t

）²=

12t

•（

20-12t

-t），
整理得：19t²-34t+15=0，
解得：t₁=1，t₂=

．
③若∠DEO=90°，如图2，

则∠DEC=∠AOC=90°，
∵∠ECD=∠OCA，
∴△DEC∽△AOC，
∴

，
∴

5-3t

，
解得：t=

．
综上所述：当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，t的值为0、1、

、

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．

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