Question

5．（1）请观察下列算式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…，则第10个算式为$\frac{1}{10+11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，第n个算式为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）运用以上规律计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015+2016}$．

Answer 1

分析 （1）直接将分数拆项变形即可；
（2）原式拆项变形后，抵消合并即可得到结果．

解答 解：（1）第10个算式为$\frac{1}{10+11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
第n个算式为 $\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015+2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为：$\frac{1}{10+11}$，$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

点评 考查数字的变化规律；得到分子为1，分母为两个相邻数的分数的计算规律是解决本题的关键．