Question

16．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（2，2）C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．
（1）求BD的长；
（2）求直线CD的解析式；
（3）求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=a，求出DN=2a-2，得出2a-2=2，求出a=2，即可得出BD的长；
（2）根据BD的长得出点D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC、PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+b，把C、D的坐标代入，求出直线CD的解析式；
（3）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可得出点Q的坐标．

解答 解：（1）过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，
∵∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P（2，2），
∴OM=BN=2，PM=2，
在△MCP和△NPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMP=∠DNP}\\{∠MCP=∠DPN}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴设AD=a，则BD=2a，
∵P（2，2），
∴DN=2a-2，MP=2，
则2a-2=2，
解得a=2，
∴BD=2a=4；

（2）∵直线AO的解析式为：y=x，
∴AB=OB=3AD=6，
∴D（6，4），
在Rt△DNP中，由勾股定理得：
PD=$\sqrt{（4-2）^{2}+（6-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$=CP，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴CO=4+2=6，
则C的坐标是（0，6），
设直线CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，6），D（6，4）代入得：
k=-$\frac{1}{3}$，b=6，
即直线CD的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+6；

（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{3}x+6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
即Q的坐标是（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考核学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．