Question

14．己知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．
（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．
（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．

Answer 1

分析 （1）先延长BD交EF于N，根据平行线的性质以及∠BNE是△BFN的外角，可求得∠ADB=∠B+∠BFE；
（2）延长BD交FE于M，设∠BDG=α，根据AD∥FE，得出∠ADB=∠EMB=$\frac{3}{2}$α，再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，求得∠BFE=2α-20°，最后根据∠BFE是△BMF的外角，可得∠BFE=∠B+∠BME，得到2α-20°=20°+$\frac{3}{2}$α，求得∠BDH=80°，即可得到∠BHD=180°-20°-80°=80°．

解答 解：（1）如图1，延长BD交EF于N，
∵AD∥CE，
∴∠ADB=∠ENB，
∵∠BNE是△BFN的外角，
∴∠BNE=∠B+∠BFE，
∴∠ADB=∠B+∠BFE；

（2）如图2，延长BD交FE于M，设∠BDG=α，
∵∠BDG：∠ADG=2：1，
∴∠ADB=α+$\frac{1}{2}$α=$\frac{3}{2}$α，
∵AD∥FE，
∴∠ADB=∠EMB=$\frac{3}{2}$α，
∵DG交BF于点H，∠B=20°，∠DGF=30°，
∴∠BFG=α-10°，
∵FG平分∠BFE，
∴∠BFE=2α-20°，
∵∠BFE是△BMF的外角，
∴∠BFE=∠B+∠BME，
即2α-20°=20°+$\frac{3}{2}$α，
解得α=80°，
∴∠BDH=80°，
∴△BDH中，∠BHD=180°-20°-80°=80°．

点评 本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造三角形，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行计算．