Question

5．已知二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞3）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且AB=4，与y轴交于点C，⊙M经过点A、B、C三点，求扇形MAC的面积．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．

解答 解：设这条抛物线与x轴交于A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∴AB=$\frac{3}{m}$-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AM=CM，
∴AM=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴R=$\sqrt{5}$，S=$\frac{5}{4}$π．

点评 此题考查了抛物线的图象与x轴交点坐标的判定、二次函数解析式的确定、圆周角定理的运用、扇形面积的计算方法等知识，综合性强，难度稍大．