Question

如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：（1）作A₁F⊥MN于点F，A₁G⊥OE于点G，在Rt△A₁OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A₁F；
（2）作A₂H⊥MN于H，则A₂H=20．作A₂D⊥OE于点D，则DE=A₂H．在Rt△A₂OD中，由特殊角的三角函数得∠A₂OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．从而得出点A所经过的路径长．
解答：解：（1）如图（1），点A运动到点A₁的位置时∠AOE=45°．
作A₁F⊥MN于点F，A₁G⊥OE于点G，
∴A₁F=GE．（1分）
在Rt△A₁OG中，
∵∠A₁OG=45°，OA₁=10，
∴OG=OA₁•cos45°=10×=5．（2分）
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5．
∴A₁F=GE=25-5．（3分）
答：点A到桌面的距离是（25-5）厘米．（4分）

（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A₂、A₃的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A₂H⊥MN于H，则A₂H=20．作A₂D⊥OE于点D，
∴DE=A₂H．（5分）
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A₂OD中，
∵OA₂=10，
∴cos∠A₂OD===．
∴∠A₂OD=60°．（7分）
由圆的轴对称性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．
∴点A所经过的路径长为=．（9分）
答：点A所经过的路径长为厘米．（10分）
点评：本题考查了弧长的计算、勾股定理、特殊角的三角函数值以及锐角三角函数的定义，综合性较强难度偏大．