Question

20．如图所示，在平面直角坐标系中，点C（0，-8），点A、B在x轴上，且CA=CB=10．
（1）求点A、B的坐标及直线BC的函数关系式
（2）在线段BC上有一动点D，经过A、D两点的直线把△ABC分成两份，且这两份的面积之比为1：2，求动点D的坐标．
（3）反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）与线段BC相交于点E，连接AE交OC于点F，且S_△AOF=S_△CEF，求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先用勾股定理求出OA=OB=6，得到点A，B坐标，再用待定系数法求出直线解析式；
（2）先求出S_△ABC=48，用面积之比为1：2，得到S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=16和S_△ABD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=32两种情况计算即可；
（3）根据S_△AOF=S_△CEF，判断出S_△ACO=S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即AE是△ABC的中线，用中点坐标求解即可．

解答 解：（1）∵点C（0，-8），
∴OC=8，
在Rt△AOC和Rt△BOC中，CA=CB=10，
∴OA=OB=6，
∴A（-6，0），B（6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-8，
（2）如图1
∵A（-6，0），B（6，0），
∴AB=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=$\frac{1}{2}$×12×8=48，
∵经过A、D两点的直线把△ABC分成两份，且这两份的面积之比为1：2
∴①S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$×48=16，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DH=$\frac{1}{2}$×12×DH=16，
∴DH=$\frac{8}{3}$，
∴点D的纵坐标为-$\frac{8}{3}$
∵D在直线BC上，
由（1）有，直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-8，
∴-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$x-8，
∴x=4，
∴D（4，-$\frac{8}{3}$），
②S_△ABD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×48=32，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DH=$\frac{1}{2}$×12×DH=32，
∴DH=$\frac{16}{3}$，
∴点D的纵坐标为-$\frac{16}{3}$
∵D在直线BC上，
由（1）有，直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-8，
∴-$\frac{16}{3}$=$\frac{4}{3}$x-8，
∴x=2，
∴D（2，-$\frac{16}{3}$），
∴D（4，-$\frac{8}{3}$）或D（2，-$\frac{16}{3}$），
（3）如图2，

S_△AOF=S_△CEF，
∴S_△AOF+S_△ACF=S_△CEF+S_△ACF
∴S_△ACO=S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴AE是△ABC的中线，
∴点E是BC的中点，
∵B（6，0），C（0，-8），
∴E（3，-4）．
∵点E在反比例函数图象上，
∴k=3×（-4）=-12，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，同底的两三角形的面积比等于高的比，解本题的关键是同底的两三角形的面积比等于高的比，求出DH，难点是判断出AE是△ABC的中线．