Question

【题目】一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．

（1）图1中原长方形铁皮的面积为_；（用的代数式表示）

（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可涂的面积为，则涂完这个铁盒需要多少钱？（用的代数式表示）

（3）是否存在一个最大正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请直接写出这个，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）涂完这个铁盒需要(480a＋16800)元；（3）a＝35或7或5或1

【解析】

（1）根据图形表示出原长方形铁皮的长和宽，进而表示出原长方形铁皮的面积即可；

（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；

（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．

解：（1）原铁皮的面积是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600，

故答案为：12a2＋420a＋3600；

（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a，

则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝480a＋16800（元），

答：涂完这个铁盒需要(480a＋16800)元；

（3）铁盒的全面积是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a，

底面积是4a×3a＝12a2，

假设存在正整数n，使12a2＋420a＝n·12a2

整理得（n－1）a＝35，

则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36

所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．