Question

16．如图测，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F
（1）求证：AC=AF+AE；
（2）探索△EPF是否为等腰直角三角形；
（3）若AP=2，求S_{四边形AEPF}．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理ASA证明△AEP≌△CFP，然后由全等三角形的对应边相等求得AE=CF；
（2）根据全等三角形的性质得到PE=PF，由于∠EPF=90°，即可得到结论；
（3）利用“割补法”求得S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，然后利用（1）的结果知S_△AEP=S_△CPF，于是得到S_{四边形AEPF}=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 证明：（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP=PC=BP（直角三角形斜边上的中线是斜边长的一半）；
在直角三角形ABP中，∠B=∠BAP=45°；
在直角三角形APC中，∠PAC=∠C=45°；
∴∠EAP=∠C=45°；
∵∠FPE=∠APC=90°，
∴∠CPF=∠APE；
在△AEP与△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C=45°}\\{AP=CP}\\{∠CPF=∠APE}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，
∴AC=AF+AE；

（2）∵△AEP≌△CPF，
∴PE=PF，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF为等腰直角三角形；

（3）∵△AEP≌△CPF，
∴S_△AEP=S_△CPF（全等三角形的面积相等）；
又∵S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
即S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵AP=2，
∴BC=2AP=4，
∴S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×4=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．