Question

【题目】在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中线弧．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．

①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧，直接写出△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值；

②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧的弧长l．

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①图见解析，，②；（2）t≥5或t≤﹣

【解析】

（1）①如图1中，当中线弧的圆心是AC或BC的中点时，所在圆的半径r的最小．

②如图2中，当中线弧所在的圆与AC，AB都相切时，的弧长最大．

（2）分两种情形：如图3中，若中线弧在 线段CD的下方时，如图4中，若中线弧在 线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．

解：（1）①如图1中，当直线弧的圆心是AC或BC的中点时，所在圆的半径r的最小，

当∠A＝45°，

此时r＝AC＝，

∴△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值为．

②如图2中，当中线弧所在的圆与AC，AB都相切时，的弧长最大，

此时，的圆心在BC上，

∵ND⊥BD，

∴∠NDB＝90°，

∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝30°，

∴BN＝2DN＝2CN，

∴3CN＝BC＝，

∴CN＝，

∴半径为．

∴△ABC的最长的中线弧的弧长l；

（2）如图3中，若中线弧在 线段CD的下方时，

∵△ABC的中线弧所在的圆的圆心在线段CD使得垂直平分线上，

当中线弧所在圆与BC相切时，可得P（0，5），

观察图象可知中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t≥5．

如图4中，若中线弧在 线段CD的上方时，

当中线弧所在圆与AC相切时，可得P（，﹣），

观察图象可知中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t≤﹣．

综上所述，中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：t≥5或t≤﹣．