Question

如图，已知抛物线y=ax²+b经过点A（4，4）和点B（0，-4）．C是x轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在以AB为直径的圆上，求点C的坐标；
（3）将点A绕C点逆时针旋转90°得到点D，当点D在抛物线上时，求出所有满足条件的点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+b的图象经过点A（4，4）和点B（0，-4），利用待定系数法求解二次函数的解析式即可．
（2）过点A作AE⊥x轴于E，连接AB交x轴于点M，得到△OMB≌△EMA后得到MB=MA，OM=ME=

1

2

OE=2，然后求得线段MB的长后即可表示出点C的坐标；
（3）分点C在点（4，0）的右侧时和当点C在点（4，0）的左侧时两种情况分类讨论即可确定答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+b的图象经过点A（4，4）和点B（0，-4），
∴

16a+b=4 b=-4

，解得：

a= 1 2 b=-4

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-4；…（3分）

（2）过点A作AE⊥x轴于E，连接AB交x轴于点M，
OB=AE=4，∠MOB=∠AEM=90°，∠OMB=∠AME，
∴在△OMB与△EMA中，
∴

OB=AE ∠MOB=∠AEM ∠OMB=∠AME

∴△OMB≌△EMA，
∴MB=MA，OM=ME=

1

2

OE=2，
∴以M为圆心，MB为半径的⊙M，即为以AB为直径的圆．
由勾股定理得 MB=

OM2+OB2

=

22+42

=2

5

，
∴点C的坐标为(2-2

5

，0)，(2+2

5

，0)．

（3）如图2，当点C在点（4，0）的右侧时，
作AE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°，即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
又∵∠DFC=∠AEC=90°，
在△DFC与△CEA中，

∠ACF=∠FDC AC=DC ∠DFC=∠AEC

∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，FC=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
当点C与点（4，0）的重合时，点D与原点重合；
当点C在点（4，0）的左侧时，同理可得OF=DF；
∴综上所述，点D在直线y=-x的图象上．
设点C的坐标为（m，0），
则点D的坐标为（m-4，4-m），（13分）
又∵点D在抛物线y=

1

2

x2-4的图象上，
∴4-m=

1

2

(m-4)2-4，
解得：m₁=0，m₂=6，
∴当点C的坐标为（6，0）或（0，0）时，
点D落在抛物线y=

1

2

x2-4的图象上．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中涉及到的分类讨论的数学思想更是中考中的高频考点，同时也是一个易错点．