Question

19．如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB=AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=12，CD=10，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）根据切割线定理求得EC=8，根据对称性得AO垂直平分BC，再用勾股定理列式求解即可．

解答 （1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点G，连接OC，
∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE²=EC•DE，
∵AE=12，CD=10，
∴12²=CE（CE+10），解得：CE=8，（已舍去负数），
由（1）知，四边形ABCE是平行四边形，
∴AC=AB=CE=8，BC=AE=12，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=6，
在Rt△ACG中，AC=8，CG=6，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
在Rt△OCG中，OC²-（OC-AG）²=CG²，
∴OC²-（OC-2$\sqrt{7}$）²=36，
∴OC=$\frac{16\sqrt{7}}{7}$．
∴⊙O半径的长为$\frac{16\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键．