Question

（2013•白下区一模）问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O₁和半圆形O₂，其中O₁、O₂分别是AD、BC上的点，半圆O₁分别与AB、BD 相切，半圆O₂分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
（1）请解决该问题；
（2）①下面方框中是小明简要的解答过程：

解得x=

a2+b2

4b

．
所以最终拼接成的圆形桌面的半径为

a2+b2

4b

m．
老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？

Answer 1

分析：（1）设半圆O₂与BD 的切点为E，连接O₂E，则O₂E⊥BD，根据∠C=90°，得出O₂E=O₂C，DC=DE=a，最后根据O₂B²=BE²+O₂E²，得出（b-EO₂）²=（

a2+b2

-a）²+O₂E²，求出EO₂即可，
（2）①小明的错误是“O₁O₂=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O₁与半圆O₂外切即可

解答：解：（1）如图，设半圆O₂与BD 的切点为E，连接O₂E，则O₂E⊥BD，
∵半圆O₂与CD 相切，且∠C=90°，
∴O₂E=O₂C，DC=DE=a．
在Rt△BEO₂中，O₂B²=BE²+O₂E²，
∴（b-EO₂）²=（

a2+b2

-a）²+O₂E²，
解得EO₂=

a a2+b2 -a2

b

，
∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=

a a2+b2 -a2

b

m；

（2）①小明的错误是半圆O₁与半圆O₂不能保证外切，即“O₁O₂=2x”是错误的，
②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O₁与半圆O₂外切．
此时半圆O₁与BD 的切点、半圆O₂与BD的切点以及O₁O₂与BD的交点重合．
所以

a2+b2

-a=a，
解得b=

3

a．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程．