Question

已知：在Rt△ABC中，AB=BC．在Rt△ADE中，AD=DE；连接EC，取EC中点M，连接DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1），猜想BM与DM的关系；
（2）如果将图（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转90°的角，如图（2），那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
（3）如果将图（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转大于90°且小于135°的角，如图（3），那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

Answer 1

分析：（1）求出BM=MC=

1

2

EC，DM=MC=

1

2

EC，推出BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，求出∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCM，求出∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=90°即可；
（2）还成立，延长DM交AC于点P，链接BD、BP，易证△DEM≌△PCM再证△DAB≌△PCB，得出等腰直角三角形，根据直角三角形的性质推出即可；
（3）取AC的中点，F，AE的中点G，连接DG、GM、BF、MF，求出MF∥AC，MG=

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2

AC，BF⊥AC，BF=

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2

AC，推出GM=BF，MF=DG，MF∥AE，求出∠DGM=∠MFB，证△DGM≌△MFB，得出DM=BM，∠MBF=∠DMG，求出BF⊥GM，求出∠BMD=90°即可．

解答：解：（1）BM与DM的关系是BM=DM，BM⊥DM，
理由是：∵∠ABC=90°，∠EDC=90°，M为EC的中点，
∴BM=MC=

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2

EC，DM=MC=

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2

EC，
∴BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=∠CBM+∠MBC=2∠BCE，∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=2×45°=90°，
即BM=DM，BM⊥DM．

（2）（1）中的结论还成立，
理由是：延长DM交AC于F，连接BF，BD，
∵∠EDA=∠DAC=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEM=∠FCM，
在△EDM和△CFM中

∠DEM=∠FCM EM=CM ∠DME=∠CMF

∴△EDM≌△CFM（ASA），
∴DE=FC=AD，
在△DAB和△FCB中

AB=BC ∠DAB=∠BCF=45° AD=FC

∴△DAB≌△FCB
∴BD=BF，∠DBA=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠DBA+∠ABF=90°，
即△DBF是等腰直角三角形，
∵DM=MF，
∴BM=DM，BM⊥DM．
∴（1）中的结论还成立；

（3）（1）中的结论还成立，
理由是：取AC的中点F，AE的中点G，连接DG、GM、BF、MF，
∵M为EC的中点，
∴MG∥AC，MG=

1

2

AC，
∵∠ABC=90°，F为AC中点，AB=AC，
∴BF⊥AC，BF=

1

2

AC，
∴GM=BF，
同理MF=DG，MF∥AE，
∵MF∥AE，GM∥AC，
∴∠MFC=∠EAF=∠EGM，
∵∠DGE=∠BFC=90°，
∴∠DGM=∠MFB，
在△DGM和△MFB中

DG=MF ∠DGM=∠MFB GM=BF

，
∴△DGM≌△MFB，
∴DM=BM，∠MBF=∠DMG，
∵BF⊥AC，MG∥AC，
∴BF⊥GM，
∴∠MBF+∠BMH=180°-90°=90°，
即∠BMD=90°，
∴DM⊥BM，
∴（1）中的结论还成立．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，本题综合性比较强，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题难度偏大，对学生提出了较高的要求．