Question

如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形．
（2）若AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF的周长和面积．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据三角形的中位线定理可得DE∥AC，EF∥AB，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质可知：AD=EF，AF=DE，所以四边形ADEF的周长=AB+AC，连接AE，则AE⊥BC，根据勾股定理可求出AE的长，进而得到三角形AB的面积，因为四边形ADEF的面积是三角形面积的一半，问题得解．

解答：（1）证明：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∵E、F分别为BC、AC中点，
∴EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AD=EF，AF=DE，
∵点D、E、F分别是△ABC各边中点，AB=AC，
∴AD=DB=AF=FC，
∴四边形ADEF的周长=AB+AC=20，
连接AE，则AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=8，
∴S_△ABC=

1

2

×12×8=48，
∴S_{四边形ADEF}=

1

2

×48=24．

点评：此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理以及平行四边形的判定定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．