Question

对于每个自然数n，抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n、B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|的值为（　　）

• A、

  2010

  2011

• B、

  2012

  2011

• C、

  2011

  2010

• D、

  2011

  2012

Answer 1

分析：当n=1时，y=x²-

3

2

x+

1

2

，设y=x²-

3

2

x+

1

2

=0的两根式a，b，则a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

1

2

=1-

1

2

，同法求出当n=2时，A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，当n=3 时，A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，当n=2011 时，A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

×

1

2012

=

1

2011

-

1

2012

，相加即可求出答案．

解答：解：当n=1时，y=x²-

3

2

x+

1

2

，设y=x²-

3

2

x+

1

2

=0的两根式a，b，
则a+b=

3

2

，ab=

1

2

，A₁B₁=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

1

2

=1-

1

2

，
当n=2时，y=x²-

5

6

x+

1

6

，同法可求出：A₂B₂=

1

6

=

1

2

-

1

3

，
当n=3 时，y=x²-

7

12

x+

1

12

，同法可求出：A₃B₃=

1

12

=

1

3

-

1

4

，
…
当n=2011 时，y=x²-

4023

2011×2012

x+

1

2011

×

1

2012

，同法可求出：A₂₀₁₁B₂₀₁₁=

1

2011

×

1

2012

=

1

2011

-

1

2012

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₁B₂₀₁₁|的值为1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

，
故选D．

点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，根与系数的关系，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能根据所得的数据找出规律是解此题的关键．