Question

20．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O上的点，E为AB延长线上一点，连接OC，CD，DE，满足∠OCD=45°且OC∥DE．
（1）探究直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径长为4，DE=3，求AC的长．

Answer 1

分析 （1））连接OD，根据等腰三角形的性质证得∠COD=90°，根据平行线的性质证得∠ODE=∠COD=90°，即可证得直线DE与⊙O相切；
（2）作CF⊥AB于F，根据勾股定理求得OE，然后根据△COF∽△OED，对应边成比例求得CF、OF，进而求得AF的长，然后根据勾股定理求得AC的长．

解答 解：（1）连接OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠COD=90°，
∵OC∥DE，
∴∠ODE=∠COD=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）作CF⊥AB于F，
∵∠ODE=90°，
∴OE=$\sqrt{O{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵OC∥DE，
∴∠E=∠AOC，
∵∠OFC=∠ODE=90°，
∴△COF∽△OED，
∴$\frac{OC}{OE}$=$\frac{OF}{DE}$=$\frac{CF}{OD}$，
∴OF=$\frac{OC•DE}{OE}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，CF=$\frac{OC•OD}{OE}$=$\frac{4×4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴AF=OA-OF=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．