Question

将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两张三角形纸片△ABC、△DEF（如图2），量得他们的斜边长为6cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，且点A、C、E、F在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC保持不动，OB为△ABC的中线．现对△DEF纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△DEF沿CA向右平移，直到两个三角形完全重合为止．设平移距离CE为x（即CE的长），求平移过程中，△DEF与△BOC重叠部分的面积S与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（2）△DEF平移到E与O重合时（如图4），将△DEF绕点O顺时针旋转，旋转过程中△DEF的斜边EF交△ABC的BC边于G，求点C、O、G构成等腰三角形时，△OCG的面积；
（3）在（2）的旋转过程中，△DEF的边EF、DE分别交线段BC于点G、H（不与端点重合）．求旋转角∠COG为多少度时，线段BH、GH、CG之间满足GH²+BH²=CG²，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△DEF与△BOC重叠部分的面积S为三角形与四边形时分别得出S与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（2）利用△OCG的面积等于△COB面积，进而得出与△ABC的关系求出即可；
（3）利用全等三角形的判定得出△COG≌△MOG，利用勾股定理逆定理得出即可．

解答：解：（1）当0＜x≤3时如图1所示：
∵DE∥AB，∠ABC=90°，
∴∠CME=90°，
在Rt△CME中，∠MCE=30°，
CE=x，
则EM=

1

2

x，CM=

3

2

x，
∴S△CME=

1

2

•EM•CM=

1

2

×

1

2

x×

3

2

x=

3

8

x2，
当3＜x≤6时如图2所示，
∵DE∥AB，∠BAC=60°，
∴∠DEC=60°，
又∵在Rt△ABC中，BO为斜边的中线，
∴BO=AO，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴△OME为正△，
∴S四边形CNMO=S△CNE-S△OME=

3

8

x2-

3

4

(x-3)2=-

3

8

x2+

3 3

2

x-

9

4

3

，
综上S=

3 8 x2(0＜x≤3) - 3 8 x2+ 3 3 2 x- 9 4 3 (3＜x≤6)

（2）若CG=CO=3cm（如图3所示），过G点作GH⊥AC于H
在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=

1

2

CG=

3

2

cm，
∴S_△CGO=

1

2

CO×GH=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

cm²，
若GC=GO（如图4所示），过G点作GH⊥CO于H，
∴CH=HO=

1

2

CO=

3

2

cm，

在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=

3

2

cm，
∴S△CGO=

1

2

•CO•GH=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

cm²，
若OG=CO=3cm（如图5所示），
在Rt△ABC中，BO为斜边的中线，BO=CO，
则此时点B与点G重合，
∴S△CGO=S△COB=

1

2

S△ABC，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，
∴AB=3cm，BC=3

3

cm，
S△CGO=S△COB=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

•AB•BC=

1

2

×

1

2

×3×3

3

=

9 3

4

cm²；

（3）解：旋转45°时，即∠COG=45°满足GH²+BH²=CG²．
理由如下：
过H作MH⊥CB于H，使得MH=BH，连接GM、OM．
∵BO是△ABC的中线，且∠ABC=90°，
∴OC=OB，
∴∠C=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠COG=45°，∠FOD=60°，
∴∠BOD=15°，
∵∠CBO=30°，
∴∠CHO=45°，
∴∠BHO=180°-45°=135°，
∴∠MHO=∠CHO+∠MHC=45°+90°=135°，
∴△BHO≌△MHO（SAS），
∴MO=BO，
∴∠BOD=∠MOH=15°，
∴∠MOG=∠DOF-∠MOD=60°-15°=45°，
∴∠MOG=∠COG=45°，
∴△COG≌△MOG（SAS），
∴CG=MG，
在Rt△MHG中，MH²+GH²=GM²，
∴BH²+GH²=CG²，

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及全等三角形的判定以及勾股定理逆定理的应用等知识，题目中运用了分类讨论思想这是数学中重要思想同学们应掌握不要漏解．