Question

已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）

BC

AB

=

3

5

，四边形EBFD的周长为22，求四边形DECF的面积．（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）

Answer 1

分析：（1）因为D、E分别是AC、AB的中点，所以ED∥BC，又因为点F在BC延长线上，所以ED∥CF，则可求证△ADE≌△CDE，所以∠A=∠ECD，则有EC∥DF，故四边形DECF是平行四边形；
（2）因为AE=EC=EB=

1

2

AB，所以ED=CF=

1

2

BC，又因为四边形EBFD的周长为22，所以可以求出DE的值，再根据四边形的面积公式求解．

解答：（1）证明：∵AE=EB，AD=DC，
∴ED∥BC．
∵点F在BC延长线上，
∴ED∥CF．
∵AD=DC，ED=DE，∠ADE=∠EDC，
∴△ADE≌△CDE．
∴∠A=∠ECD．
∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ECD．
∴EC∥DF．
∴四边形DECF是平行四边形．

（2）∵AE=EC=EB=

1

2

AB，ED∥CF，EC∥DF，D、E分别是AC、AB的中点，
∴ED=CF=

1

2

BC．
∵EBFD周长为22，
∴2BC+AB=22．
∵

BC

AB

=

3

5

，
∴AB=

5

3

BC．
∴（2+

5

3

）BC=22．
∴BC=6．EC=5
∴ED=3．∴DC=4，
∴四边形DECF的面积=3×4=12．

点评：此题考查平行四边形的判定方法和面积公式．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．