Question

【题目】．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．

⑴求证：AC=CD

⑵若AC=2，AO=，求OD的长度．

Answer 1

【答案】⑴证明：∵AC是⊙切线，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∴∠OAB＋∠CAB=90°．

∵OC⊥OB，

∴∠COB=90°，

∴∠ODB＋∠B=90°．

∵OA=OB

∴∠OAB=∠B，

∴∠CAB=∠ODB．

∵∠ODB=∠ADC，

∴∠CAB=∠ADC

∴AC=CD．

⑵解：在Rt△OAC中，OC==3

∴OD=OC－CD=OC－AC=3－2=1

【解析】

试题（1）由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证.

（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长.

试题解析：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.

∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.

∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°.

∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.

∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，

根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，

解得：OD=1（负值已舍去）.