Question

6．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．
（1）试猜想线段CE和BG的数量及位置关系，并证明你的猜想；
（2）填空：△ABC与△AEG面积的关系S_△ABC=S_△AEG；
（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG是直角三角形，∠CGD=90°，DG=3m，CG=4m，CD=5m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，六边形花圃ABIHFE的面积为74m²．

Answer 1

分析 （1）易证∠EAC=∠BAG，即可证明△EAC≌△BAG，可得CE=BG，∠AEC=ABG，即可证明CE⊥BG；
（2）先判断出∠EAH=∠BAC，从而△EHA≌△BCA，即可得出EH=BC，最后用三角形的面积公式计算即可得出结论；
（3）由（2）结论得出S_△BCI=S_△CDG，S_△ADE=S_△CDG，而△CDG和△FGH面积相等，最后用求得七部分面积的和即可．

解答 解：（1）线段CE和BG的数量及位置关系：CE=BG，CE⊥BG．
证明：∵∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=BA}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=ABG，
∵∠AEC+∠APE=90°，∠APE=∠BPC，
∴∠BPC+∠ABG=90°，
∴CE⊥BG；

（2）如图1，过点E作EH⊥AG交GA延长线于H，
∴∠EHA=∠90°=∠BCA，
∵∠EAH+∠BAH=90°，∠BAC+∠BAH=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
在△EHA和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHA=∠BCA}\\{∠EAH=∠BAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△EHA≌△BCA（AAS），
∴EH=BC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$AC×EH，S_△AGE=$\frac{1}{2}$AG×EH=$\frac{1}{2}$AC×EH，而AC=AG，
∴△ABC与△AEG面积相等．
故答案为：S_△ABC=S_△AEG；

（3）如图2，∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形，∠CGD=90°，
∴CG=GH=4，DG=FG=3，△CDG与△HGF全等，
同（2）的方法可得，S_△BCI=S_△CDG，S_△ADE=S_△CDG
∴S_{六边形ABIHFE}
=S_{正方形ABCD}+S_△BCI+S_{正方形CIHG}+S_△FGH+S_{正方形DEFG}+S_△ADE+S_△CDG
=S_{正方形ABCD}+S_△CDG+S_{正方形CIHG}+S_△FGH+S_{正方形DEFG}+S_△CDG+S_△CDG
=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CIHG}+S_△FGH+S_{正方形DEFG}+3S_△CDG
=CD²+CG²+$\frac{1}{2}$GH×FG+DG²+3×$\frac{1}{2}$CG×DG
=5²+4²+$\frac{1}{2}$×4×3+3²+3×$\frac{1}{2}$×4×3
=25+16+6+9+18
=74（m²）．
故答案为：74m²．

点评 此题属于四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积公式，正方形的面积公式的综合应用，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用等底等高的三角形面积相等，得出S_△ABC=S_△AGE．