Question

11．两块等腰直角三角板ABC，DEF按图1的方式放置在同一条直线l上，点C与点F重合，线段EB绕点E逆时针旋转45°交AD于点M．已知∠ABC=∠DEF=90°，DE=2．
（1）求证：AM=DM；
（2）将图1中的三角板ABC沿直线l向左平移，如图2所示，设CE=x．
①求$\frac{AM}{DM}$的值（用含x的代数式表示）；
②若将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转m°（0＜m＜45），原题中的其它条件保持不变，如图3所示，请探究：$\frac{AM}{DM}$的值是否发生变化，若有变化，请求出$\frac{AM}{DM}$的值（用含x的代数式表示）；若没有变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据同位角相等证明AF∥EM，由平行线分线段成比例定理得$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DN}{NF}$=1；
（2）①如图2，作辅助线，构建相似三角形，证明ED∥AB和AC∥EG可得结论；
②$\frac{AM}{DM}$的值没有变化，如图3，作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，证明△AMG∽△DME，得AH=EC=x，证明ED∥HA得比例式，从而得出结论．

解答 证明：（1）如图1，∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴AF∥EM，
∵∠AFD=180°-45°-45°=90°，
∴∠MND=90°，
∵DE=EF，
∴N是DF的中点，
由AF∥EM得$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DN}{NF}$=1，
∴AM=DM；
（2）①如图2，延长EM和BA交于点G，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴ED∥AB，
∴△AMG∽△DME，
由线段EB绕点E逆时针旋转45°得：∠BEM=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴∠BEM=∠ACB，
∴EG∥AC，
∴$\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{AG}$，
∵AB=BC，
∴AG=CE，
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{AG}{DE}$=$\frac{x}{2}$；
②$\frac{AM}{DM}$的值没有变化．如图3，作∠EBH=90°与EM的延长线交于点H，连结AH，
∴∠ABC=∠HBE=90°，
∴∠EBC=∠ABH，
∵线段EB绕点E逆时针旋转45°，
∴△EBH和△CAB都是等腰直角三角形，
∴EB=HB，CB=AB，
∴△EBC≌△HBA，
∴∠ECB=∠HAB，AH=EC=x，
延长HA与CB和CF分别交于点P和Q，
∴∠BCQ=∠PAB，
又∵∠CPQ=∠APB，
∴∠CQP=∠PBA=90°，
∴ED∥HA，
∴$\frac{AM}{DM}$=$\frac{AH}{DE}$=$\frac{EC}{DE}$=$\frac{x}{2}$．

点评 本题是几何变换的综合题，考查了等腰直角三角形、旋转、全等、相似等性质，综合性较强；本题的三个问题都是由平行线分线段成比例定理得出，因此作辅助线构建平行线是本题的关键；另外，本题还运用了“等角的补角相等”、“如果两个三角形的两个角对应相等，则第三个角也对应相等”等结论．