【题目】如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S=-m2+m,最大值为;(3)①(,),②45°.
【解析】
(1)令x=0代入y=﹣3x+3,
∴y=3,
∴B(0,3),把B(0,3)代入y=ax2﹣2ax+a+4,
∴3=a+4,
∴a=﹣1,
∴二次函数解析式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)当y=0时,0=﹣x2+2x+3,
∴x=﹣1或3,
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3,
∴0<m<3,
令y=0代入y=3x+3,
∴x=1,
∴A的坐标为(1,0),
由题意知:M的坐标为(m,﹣m2+2m+3),
S=S四边形OAMBS△AOB=S△OBM+S△OAMS△AOB=×m×3+×1×(﹣m2+2m+3)×1×3= (m)2+
∴当m=时,S取得最大值.
(3)①由(2)可知:M′的坐标为(,);
②过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F根据题意知:d1+d2=BF,
∵∠BFM′=90°,
∴点F在以BM′为直径的圆上,设直线AM′与该圆相交于点H,
∵点C在线段BM′上,
∴F在优弧BM′H上,
∴当F与M′重合时,BF可取得最大值,此时BM′⊥l1,
∵A(1,0),B(0,3),M′(,),
∴由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,
过点M′作M′G⊥AB于点G,设BG=x,
∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2,
∴﹣(﹣x)2=﹣x2,
∴x=,
cos∠M′BG=,
∵l1∥l′,
∴∠BCA=90°,∠BAC=45°.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)( )
A. 21.7米 B. 22.4米 C. 27.4米 D. 28.8米
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,过线段AB的端点B作射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证:≌;
(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;
(3)试探究AE+EF+AF与2AB是否相等,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BE与⊙O相切;
(2)设OE交⊙O于点F,若DF=1,BC=2,求阴影部分的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.
(1)求证:△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】庆祝建国70周年暨我爱我家·美丽菏泽群众文艺展演圆满落幕,某学习小组对文艺展演中的舞蹈《不忘初心》,独舞《梨园一生》,舞蹈《炫动的牡丹》,民族歌舞组合《阿里郎+》这四个节目开展“我最喜爱的舞蹈节目”调查,随机调查了部分观众(每位观众必选且只能选这四个节目中的一个)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:
(1)本次一共调查了多少名观众?
(2)将条形统计图补充完整,并求出扇形统计图中所对应的圆心角的度数;
(3)学习小组准备从4个节目中随机选取两个节目的录像带回学校给同学们观看,请用树状图或者列表的方法求恰好选中舞蹈《不忘初心》和舞蹈《炫动的牡丹》的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,我们将抛物线通过平移后得到,且设平移后所得抛物线的顶点依次为,这些顶点均在格点上,我们将这些抛物线称为“缤纷抛物线”(k为整数).
(1)的坐标为____________,直接写出平移后抛物线的解析式为____________(用k表示);
(2)若平移后的抛物线与抛物线交于点A,对称轴与抛物线交于点B,若,求整数k的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com