Question

【题目】如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，以为直径作⊙.

(1)求证：是⊙的切线；

(2) 若AC=3，BC=4，求BE的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】

（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5-r，由OD∥AC可得出 ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB-AE即可求出BE的长度．

解：(1)证明：连接.

∵AE为直径，

点在上⊙

又∵AD平分

，即

又∵OD为半径

是⊙的切线

(2) ∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，

∴AB=5.

设OD=r，则BO=5r.

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴,即 ，

解得：r= ，

∴BE=ABAE=5 = .