【题目】在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O点出发,沿x轴正方向以3个单位/秒的速度运动.过P作PQ⊥OA于Q.设P点运动的时间为t秒(0 < t < ),ΔOPQ与四边形OABC重叠的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示P、Q两点的坐标;
(3)将ΔOPQ绕P点逆时针旋转90°,是否存在t,使得ΔOPQ的顶点O或Q落在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与t的函数解析式;
【答案】(1);顶点M的坐标为(2,);(2)P(3t,0),Q( );(3)存在,或;(4)
【解析】
(1)设抛物线的解析式为,然后将点O、A、B的坐标代入即可求出结论;
(2)过点A作AH⊥x轴于H,过点Q作QN⊥x轴于N,证出△OAH为等腰直角三角形,∠AOH=45°,然后由题意易知OP=3t,△OPQ为等腰直角三角形,根据三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论;
(3)将△OPQ绕P点逆时针旋转90°,得到△O′PQ′,如下图所示,过点Q′作Q′K⊥x轴于K,根据题意即可求出O′的坐标,然后利用锐角三角函数即可求出Q′的坐标,然后根据O′在抛物线或Q′在抛物线分类讨论,代入解析式即可求出结论;
(4)根据t的取值分类讨论,分别画出对应的图形,根据三角形的面积、梯形的面积计算即可.
解:(1)设抛物线的解析式为
将点O、A、B的坐标代入,得
解得:
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点M的坐标为(2,);
(2)过点A作AH⊥x轴于H,过点Q作QN⊥x轴于N
∵点A(1,-1)
∴AH=OH=1,
∴△OAH为等腰直角三角形,∠AOH=45°
∵动点P从O点出发,沿x轴正方向以3个单位/秒的速度运动,PQ⊥OA
∴OP=3t,△OPQ为等腰直角三角形
∴QN=ON=OP=
∴点P的坐标为(3t,0),点Q的坐标为(,);
(3)将△OPQ绕P点逆时针旋转90°,得到△O′PQ′,如下图所示,过点Q′作Q′K⊥x轴于K
由题意可知:∠OPO′=∠QPQ′=90°,O′P=OP=3t,PQ′=PQ=OP·sin∠POQ=
∴∠Q′PK=180°-∠OPQ-∠QPQ′=45°,点O′的坐标为(3t,-3t)
∴PK=Q′K= PQ′·sin∠Q′PK=
∴OK=OP+PK=
∴点Q′的坐标为(,)
当点O′在抛物线上时,则
解得:(不符合题意,舍去);
当点Q′在抛物线上时,则
解得:(不符合题意,舍去);
综上:当t=或时,△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上
(4)由(3)知OP=3t,OQ=PQ=
根据勾股定理可得OA=
∴当点Q与点A重合时,,解得:t=;
当点P与点C重合时3t=3,解得:t=1;
当0<t≤时,如下图所示
S=OQ·PQ=××=;
当<t≤1时,如下图所示
∵AB∥OC
∴∠QAE=∠POQ=45°
易知EQ=AQ=OQ-OA=-
∴S=S△OPQ-S△AEQ
=OQ·PQ-AQ·EQ
=××-(-)(-)
=3t-1;
当1<t<时,如下图所示,PQ分别与AB、BC交于点E、F
易知:OC=3,AB=3-1=2,BC=1,PC=3t-3,△PCF和△BEF为等腰直角三角形
∴CF=PC=3t-3,
∴BE=BF=BC-CF=4-3t
∴S=S梯形OABC-S△BEF
=BC(AB+OC)-BE·BF
=×1×(2+3)-(4-3t)(4-3t)
=
综上:
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【题目】如图,点是直线与反比例函数(为常数)的图象的交点.过点作轴的垂线,垂足为,且.
(1)求点的坐标及的值;
(2)已知点,过点作平行于轴的直线,交直线于点,交反比例函数(为常数)的图象于点,交垂线于点.若,结合函数的图象,直接写出的取值范围.
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【题目】甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s(单位:千米),甲行驶 的时间为t(单位:小时),s与t之间的函数关系如图所示,有下列结论:①出发1小时时,甲、乙在途中相遇;②出发1.2小时时,乙比甲多行驶了50千米;③乙到终点时,甲离终点还有60千米;④甲的速度是乙速度的一半.其中,正确结论是 _____________ .(填序号)
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【题目】如图1,是的直径,弦于点,点为上一点,连接、、,交于点.
(1)求证:;
(2)如图2,连接,交于点,若,求证:是等腰三角形;
(3)如图3,在(2)的条件下,若,,求的半径.
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【题目】某校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目.为了了解全校学生对这四个活动项目的选择情况,体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查(规定每人必须并且只能选择其中一个项目),并把调查结果绘制成如图所示的统计图,根据这个统计图可以估计该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为______名.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E为射线CB上一动点(不与点C重合),将△CDE沿DE所在直线折叠,点C落在点C′处,连接AC′,当△AC′D为直角三角形时,CE的长为_____.
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【题目】小泽和小帅两同学分别从甲地出发,骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动.如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离(单位:千米)与时间(单位:小时)之间函数关系的图象,则当小帅到达乙地时,小泽距乙地的距离为_________千米.
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