Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为______（结果保留根号的形式）．

Answer 1

已知梯形的上下底的和是4，设AB+CD=4，
对角线AC与BD交于点O，经过点C作对角线BD的平行线CE交AB的延长线于点E．
①当∠DOC=60度时，∠ACE=60°，△ACE是等边三角形，边长AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

因而面积是

1

2

×4×2

3

=4

3

②当∠BOC=60度时，∠AOB=180°-60°=120°，
又∵BD∥CE，
∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底边AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，则AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
则△ACE的面积=

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

，而△ACE的面积等于梯形ABCD的面积．
因而等腰梯形的面积为4

3

或

4 3

3

．
故答案为：4

3

或

4 3

3

．