Question

4．如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．
例：16=5²-3²，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来的：0=0²-0²，1=1²-0²，3=2²-1²，4=2²-0²，5=3²-2²，7=4²-3²，8=3²-1²，9=5²-4²，11=6²-5²，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）²-k²=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是12；
（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．

Answer 1

分析 （1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；
（2）仿照小王的做法，将（k+2）²-k²用平方差公式展开即可得出结论．

解答 解：（1）继续小明的方法，12=4²-2²，
即第10个智慧数是12，
故答案为：12；
（2）设k是自然数，由于（k+2）²-k²=（k+2+k）（k+2-k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．

点评 本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明的办法继续找下去；（2）将将（k+2）²-k²用平方差公式展开．