Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AC=5，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁；再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁、O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁，…，依此类推，则第n个平行四边形的面积是（　　）

• A．

  12

  2n

• B．

  12

  2n-1

• C．

  24

  2n

• D．

  12

  2n+1

Answer 1

分析：首先利用勾股定理求出BC的长，进而求出了矩形的面积，直角三角形ABC中，有斜边的长，有直角边AB的长，BC的值可以通过勾股定理求得，有了矩形的长和宽，面积就能求出了，易求出OCB₁B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积的一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半；依此类推第n个平行四边形的面积就应该是

1

2n

×原矩形的面积．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，AC=5，AB=3，
∴∠ABC=90°，BC=4，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=3×4=12，
∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四边形OBB₁C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=

1

2

BC=2，OA₁=3，
∴S_菱形OBB1C=3，
同理：四边形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=

3

2

；
第n个平行四边形的面积是：S_n=12×

1

2n

=

12

2n

，
故选A．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理等知识点的综合运用，本题中找四边形的面积规律是个难点．