Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AC=4；D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE∥BC．
（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；
（2）设CD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ADE∽△DBA，理由为：由AE平行于BC，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等，利用两对对应边相等的两三角形相似可得证；
（2）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinB，将AC及sinB的值代入，求出AB的长，进而利用勾股定理求出BC的长，由（1）得出的两三角形相似得出比例式，设CD=x，AE=y，由BD=BC+BD表示出BD，再由AC及CD的长，利用勾股定理表示出AD，将各自的值代入比例式，整理后即可得到y与x的关系式，并根据边CD大于0得到x大于0，即为函数的定义域；
（3）当△ADE为等腰三角形，分三种情况考虑：AE=AD；AE=DE；AD=DE，分别利用相似得比例及勾股定理即可求出AE的长．
解答：解：（1）△ADE∽△DBA，理由为：
证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD=∠ADB，
∵∠EDA=∠B，
∴△ADE∽△DBA；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AC=4，
∴AB==5，
∴BC==3，
∵△ADE∽△DBA，
∴=，
设CD=x，AE=y，
则BD=BC+CD=3+x，AD==，
∴=，
∴y=（x²+16）（x＞0）；
（3）分三种情况考虑：
当△ADE为等腰三角形，且AE=AD时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴△DBA也为等腰三角形，即DB=DA，此时四边形ABDE为平行四边形，
设AE=AD=BD=x，则有CD=BD-BC=x-3，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD²=AC²+CD²，即x²=4²+（x-3）²，
解得：x=，
此时AE=；
当△ADE为等腰三角形，且AE=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴AD=AB=5，
在Rt△ACD中，AC=4，AD=5，
根据勾股定理得：CD=3，
故BD=BC+CD=3+3=6，
∴=，即=，
解得：AE=；
当△ADE为等腰三角形，且AD=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴BD=AB=5，
故CD=BD-BC=5-3=2，
在Rt△ACD中，AC=4，CD=2，
根据勾股定理得：AD=2，
∴=，即=，
解得：AE=4，
综上，AE的值为4或．
点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．