Question

19．在平面直角坐标系中，已知直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S=3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边与高线的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与m的函数关系式；
（2）将S=3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）由直线OP平分△AOB的面积，可知OP为△AOB的中线，点P为AB的中点，根据中点坐标公式即可求解．

解答 解：∵直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（4，0），B（0，2），
∵P（m，n）
∴S=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$（4-m）=4-m，即S=4-m．
∵点P（m，n）在第一象限内，∴m+2n=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{-\frac{1}{2}m+2＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜4；

（2）当S=3时，4-m=3，
解得m=1，
此时y=$\frac{1}{2}$（4-1）=$\frac{3}{2}$，
故点P的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），
∴点P的坐标为（2，1）．

点评 本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，三角形中线的性质，中点坐标公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．