Question

1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，∠CAB=60°．求△ABC的内切圆⊙I的半径和外接圆⊙O的半径．

Answer 1

分析 作BD⊥AC于D，连结OB、OC，作OE⊥BC于E，如图，在Rt△ABD中利用含30度的直角三角形三边的关系得AD=$\frac{1}{2}$AB=3，BD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，则CD=AC-AD=5，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算出BC=2$\sqrt{13}$，接着利用垂径定理，由OE⊥BC得BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{13}$，∠BOE=∠COE，然后根据圆周角定理得∠∠BOE=∠A=60°，于是在Rt△BOE中，根据正弦的定义可计算出BO=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，即外接圆⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{39}}{3}$；设△ABC的内切圆⊙I的半径为r，根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$r•（AB+BC+AC）=$\frac{1}{2}$BD•AC，即可计算出r=$\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{39}}{3}$．

解答 解：作BD⊥AC于D，连结OB、OC，作OE⊥BC于E，如图，
在Rt△ABD中，∵∠A=60°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
BD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，
∴CD=AC-AD=8-3=5，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵OE⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{13}$，∠BOE=∠COE，
∵∠BOC=2∠A=120°，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，
在Rt△BOE中，∵sin∠BOE=$\frac{BE}{BO}$，
∴BO=$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
即外接圆⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{39}}{3}$；
设△ABC的内切圆⊙I的半径为r，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$r•（AB+BC+AC）=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴r=$\frac{3\sqrt{3}×8}{6+8+2\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{39}}{3}$，
即△ABC的内切圆⊙I的半径为$\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{39}}{3}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等．也考查了圆周角定理和三角形面积公式．