Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．

①若∠A＝70°，求∠BDC的度数．

②∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．(直接写出答案)

（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．

Answer 1

【答案】（1）①125°；②∠A＝90°+α；（2）∠BEC＝90°﹣α．

【解析】

（1）①根据角平分线定义可得到∠ABD＝∠CBD，∠BCD＝∠ACD，再根据三角形内角和定理得到∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A＝180°，利用等量代换可得2（180°﹣∠BDC）+∠A＝180°，进而得到∠BDC＝90°+∠A;②直接利用①的结论写出即可

（2）利用角平分线定义得到∠EBC＝∠MBC，∠BCE＝∠BCM，再由三角形外角性质得到∠CBM+∠BCN＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，进而得∠EBC+∠BCE＝（∠MBC+∠BCN）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，再在△DBC中利用内角和定理得到∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE），进行化简即可得到结论.

解：（1）①∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，

∴∠ABD＝∠CBD，∠BCD＝∠ACD，

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A＝180°，

∴2∠DBC+2∠BCD+∠A＝180°，

∴2（180°﹣∠BDC）+∠A＝180°，

∴∠BDC＝90°+∠A，

∵∠A＝70°，

∴∠BDC＝90°+×70°＝90°+35°＝125°．

②利用①得到的∠BDC＝90°+∠A，直接表示出∠BDC＝90°+α．

（2）∵BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线，

∴∠EBC＝∠MBC，∠BCE＝∠BCM，

∵∠CBM、∠BCN是△ABC的两个外角

∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A

∴∠EBC+∠BCE＝（∠MBC+∠BCN）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，

在△DBC中，

∵∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）

＝180°﹣（90°+∠A）

＝90°﹣∠A，且∠A＝α，

∴∠BEC＝90°﹣α．