Question

自主观察：观察下列等式：
第1个等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

（1-

1

3

）；第2个等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

）；
第3个等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

（

1

5

-

1

7

）；第 4个等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

（

1

7

-

1

9

）；…
探究发现：请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a₅=

 

=

 

；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a_n=

 

=

 

（n为正整数）；
解决问题：
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄…+a₂₀的值．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1；
（3）运用发现的规律拆分计算．

解答：解：（1）a₅=

1

9×11

=

1

2

×（

1

9

-

1

11

）；
（2）a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）（n为正整数）；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄…+a₂₀
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

×（

1

39

-

1

41

）
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

39

-

1

41

）
=

1

2

×（1-

1

41

）
=

1

2

×

40

41

=

20

41

．

点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．