Question

已知：二次函数的图象与一次函数y=4x-8的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8）．如果抛物线的对称轴是x=-1，
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x增大而增大，当x为何值时，抛物线在x轴上方．

Answer 1

分析：（1）由二次函数与一次函数的交点为P和Q，将P和Q的坐标分别代入一次函数解析式中，求出m与n的值，确定出P与Q的坐标，由Q坐标为（0，-8），设抛物线解析式为y=ax²+bx-8（a≠0），将P坐标代入得到关于a与b的方程，再由对称轴公式，根据对称轴为直线x=-1列出关于a与b的方程，联立两方程求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式中a大于0，得到抛物线开口向上，再由对称轴为直线x=-1，得到x大于-1时，y随x的增大而增大，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，可得出抛物线位于x轴上方时x的范围．

解答：解：（1）由二次函数与一次函数图象交于P（2，m），Q（n，-8），
将x=2，y=m代入一次函数y=4x-8中得：m=8-8，解得：m=0，
将x=n，y=-8代入一次函数y=4x-8中得：-8=4n-8，解得：n=0，
∴P（2，0），Q（0，-8），
设二次函数解析式为y=ax²+bx-8（a≠0），
由抛物线对称轴为直线x=-1，得到-

b

2a

=-1，即b=2a①，
将P坐标代入抛物线解析式得：0=4a+2b-8②，
联立①②解得：a=1，b=2，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-8；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=-1，且a=1＞0，
∴抛物线开口向上，且当x＞-1时，y随x的增大而增大；
令抛物线解析式中y=0得：x²+2x-8=0，
解得：x₁=2，x₂=-4，
∴当x＜-4或x＞2时，抛物线在x轴上方．

点评：此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键．