Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；

（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）k为1，2；

（2）M的坐标为（-，）；

（3）b=1或b=．

【解析】

试题分析：（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；

（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；

（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．

试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

∴．

∴k﹣1＜2．

∴k＜3．

∵k为正整数，

∴k为1，2．

（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为y=x2+2x，

此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）

由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，则N（m，m2+2m），

MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．

∴当m=﹣时，MN的长度最大值为．

此时点M的坐标为（，）．

（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），

把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，

当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．

由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x

∴有一组解，此时有两个相等的实数根，

则所以b=，综上所述b=1或b=．