Question

如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD₁⊥l于点D₁，过点E作EE₁⊥l于点E₁．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD₁=AB；
（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD₁，EE₁，AB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△CAD、△CBE是等腰直角三角形，且∠CAD=∠CBE=90°，
∴AC=AD，BC=BE，
∴∠ABC=90°．∠DAD₁+∠CAB=90°．
∵DD₁⊥l，
∴∠DD₁A=90°，
∴∠DD₁A=∠ABC．
∵∠CAB+∠ACB=90°，
∴∠DAD₁=∠ACB．
在△ADD₁和△CAB中，
，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；

（2）DD₁，EE₁，AB之间的数量关系是：DD₁+EE₁=AB
理由：过点C作CH⊥l于H，
由（1）得△DD₁A≌△AHC，△CHB≌△EE₁B，
∴AH=DD₁，HB=EE₁，
∴AH+HB=DD₁+EE₁，
即AB=DD₁+EE₁．
分析：（1）由条件可以得出∠ABC=90°，∠DD₁A=90°，根据等腰直角三角形的性质就可以得出AD=AC，∠DAC=90°，就可以得出∠DAD₁=∠ACB，从而得出△ADD₁≌△CAB就可以得出结论；
（2）过点C作CH⊥l于H，通过证明△DD₁A≌△AHC，△CHB≌△EE₁B，就可以得出AH=DD₁，HB=EE₁，从而得出．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用三角形全等制造相等线段是关键．