如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.点O为AB中点.点P为直线BC上的动点.连接OC.OP.将线段OP绕点P顺时针旋转60°.得到线段PQ.连接BQ．(1)如图1.当点P在线段BC上时.请直接写出线段BQ与CP的数量关系．(2)如图2.当点P在CB延长线上时.(1)中结论是否成立?若成立.请加以证明,若不成立.请说明理由,(3)如图3.当点P在BC延� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．
（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长

分析（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可；
（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；
（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=EO=a，则FC=FP=2a，EF=$\sqrt{3}$a，在Rt△PCE中，PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2a+\sqrt{3}a）^{2}+{a}^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，根据PC+CB=4，可得方程（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a+$\sqrt{2}$a=4，求出a即可解决问题；

解答解：（1）结论：BQ=CP．
理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，
∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，
∴△CBO是等边三角形，
∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，
∴∠CHP=∠CPH=60°，
∴△CPH是等边三角形，
∴PC=PH=CH，
∴OH=PB，
∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，
∵∠OPQ=∠OCP=60°，
∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，
∴△POH≌△QPB，
∴PH=QB，
∴PC=BQ．

（2）成立：PC=BQ．

理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，
∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，
∴△CBO是等边三角形，
∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，
∴∠CHP=∠CPH=60°，
∴△CPH是等边三角形，
∴PC=PH=CH，
∴OH=PB，
∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，
∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，
∴△POH≌△QPB，
∴PH=QB，
∴PC=BQ．

（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．

∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，
∴∠POC=45°，
∴CE=EO，设CE=EO=a，则FC=FP=2a，EF=$\sqrt{3}$a，
在Rt△PCE中，PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2a+\sqrt{3}a）^{2}+{a}^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，
∵PC+CB=4，
∴（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a+$\sqrt{2}$a=4，
解得a=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$，
∴PC=4$\sqrt{3}$-4，
由（2）可知BQ=PC，
∴BQ=4$\sqrt{3}$-4．

点评此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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