Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形．

（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6．

【解析】

（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；

（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，

∵AE、CF分别平分∠BAD∠BCD，

∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，

∴AE∥CF，

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：由（1）可知∠BCF=∠DCF=∠F，

∴BF=BC=AD=8，

∵AB=CD=5，

∴AF=BF﹣AB=3，

∵BF∥DE，

∴∠DCG=∠F，∠D=∠FAG，

∴△DCG∽△AFG，

∴=，

∴DG=AG，

∴AD=AG+DG=AG=8，

∴AG=3，

∴AF+AG=3+3=6．