Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1)–2 = 0，解得b =
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴顶点D的坐标为 (, -).
（2）当x = 0时y = -2,      ∴C（0，-2），OC = 2。
当y = 0时， x₂-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ = 4,    ∴B (4,0)
∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.
∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².               ∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：设直线C′D的解析式为y =" kx" + n ,
则，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴当y = 0时， ，
 .    ∴.

（1）根据抛物线过A（-1，0）点，直接求出b的值，再根据配方法求出二次函数顶点坐标即可；
（2）分别求出三角形三边，即可得出三角形的形状；
（3）首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．