Question

O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．
（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α=120°，请你通过观察或测量，填空：
①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为________；
②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为________；
（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α=90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为________；
②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；
（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为________时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．
（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为________时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．

Answer 1

解：（1）①a；（1分）
②a；（2分）

（2）①a；（3分）
②正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a．（4分）
理由：
证明：连接OA、OD
∵四边形ABCD是正方形，点O为中心
∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°
又∵∠AOD=∠POQ=90°
∴∠AOM+∠AOQ=90°∠DON+∠AOQ=90°
∴∠AOM=∠DON
∴△AOM≌△DON∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a（8分）

（3）∵正五边形的内角为（5-2）×180°÷5=72°
∴当扇形纸板的圆心角α为72°时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（10分）

（4）∵正多边形的中心角为，
∴当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．（12分）
分析：（1）此类题目往往是图形的位置变化但结论不变；
（2）连接OA、OD，根据四边形ABCD是正方形，点O为中心得到OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°再求得∠AOM=∠DON，从而证明△AOM≌△DON后得到AM=DN得到AM+AN=DN+AN=AD=a；
（3）利用正多边形的内角的求法求得正五边形的内角度数即可；
（4）圆心角等于正多边形的中心角的度数时候有上述结论．
点评：本题考查了正多边形的计算，应利用全等把所求的线段和面积转换为容易算出的线段和图形的面积，注意类比方法的运用．