Question

18．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，EO⊥AC，
（1）若△ABE的周长为10cm，求平行四边形ABCD的周长，
（2）若∠DAB=108°，AE平分∠BAC，试求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对角线互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE的周长为AB+BC的长．最后根据平行四边形的对边相等得：?ABCD的周长为2×10=20cm．
（2）由已知条件和平行四边形的性质易求∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°，进而可求出∠ACB的度数．

解答 解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE．
∴△ABE的周长为AB+AC=10，
根据平行四边形的对边相等得，
平行四边形ABCD的周长为2×10=20cm．
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠ACB
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°，
∴∠ACB=∠CAD=36°．

点评 本题考查了平行四边形的性质：对边相等且对角线互相平分以及线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的有关性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．