Question

【题目】如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点．

（1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，请找出所有的格点P，使点P为△ABC关于点A的勾股点．

（2）如图3，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角三角形APD（点A、P、D顺时针排列）∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点．

（3）如图4，点E是矩形ABCD外一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若AD＝8，CE＝5，AD＝DE，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图2-1，图2-2，求出PA2，PB2，PC2，得到PC2+PB2＝PA2，即得出点P是△ABC关于点A的勾股点；

（2）证明△ABD≌△ACP（SAS），得出BD＝CP，∠ABD＝∠ACP＝135°，证明∠DBP＝90°，则结论得证；

（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”可得CE＝CD＝5，如图3，过点E作MN⊥AB于点M，交DC的延长线于点N，设AM＝DN＝x，则CN＝DN﹣CD＝x﹣5，由勾股定理可得82﹣x2＝52﹣(x﹣5)2，求出x的值，进而求出AM，ME的长，则答案可得出．

解：（1）如图2-1，

∵PA2＝12+32＝10，PB2＝12+22＝5，PC2＝PB2＝5，

∴PA2＝PC2+PB2，

∴点P是△ABC关于点A的勾股点；

如图2-2，

∵PA2＝32+32＝18，PB2＝12+42＝17，PC2＝1，

∴PA2＝PC2+PB2，

∴点P是△ABC关于点A的勾股点；

（2）∵△ABC和△APD为等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AP，∠BAC＝∠DAP＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAP﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAP，

∴△ABD≌△ACP（SAS），

∴BD＝PC，∠ABD＝∠ACP＝135°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠DBP＝∠ABD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，

∴BD2+PB2＝PD2，

∴PC2+PB2＝PD2，

∴点P为△BDC关于点D的勾股点．

（3）解：∵矩形ABCD中，AD＝8，

∴AD＝BC＝8，CD＝AB，

∵AD＝DE，

∴DE＝8，

∵点C是△ABE关于点A的勾股点，

∴AC2＝CB2+CE2，

∵AC2＝AB2+BC2，

∴CE＝CD＝5，

如图3，过点E作MN⊥AB于点M，交DC的延长线于点N，

∴∠AME＝∠MND＝90°，

∴四边形AMND是矩形，

∴MN＝AD＝8，AM＝DN，

设AM＝DN＝x，则CN＝DN﹣CD＝x﹣5，

∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2，

∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2，

∴82﹣x2＝52﹣(x﹣5)2

解得：x＝，

∴EN═＝＝，AM＝DN＝，

∴ME＝MN﹣EN＝8﹣＝，

∴Rt△AME中，AE＝＝＝．