Question

16．抛物线y=ax²+bx+3与y轴交于点B，与x轴负半轴交于点A、C（点A在C的左侧），C（-1，0），tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 由抛物线的解析式求得B的坐标，得出OB=3，根据勾股定理求得BC，作CE⊥AB于E，根据tan∠ABC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，得出BE=2CE，根据勾股定理求得CE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，设AC=x，AE=y，根据勾股定理AC²=AE²+CE²，即x²=y²+（$\sqrt{2}$）²，根据三角形面积得出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{1}{2}$（y+2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$，联立方程，即可求得AC的长，从而求得A的坐标，然后，根据待定系数法即可求得抛物线的解析式．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+3与y轴交于点B，
∴B（0，3），
∴OB=3，
∵C（-1，0），
∴OC=1，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
作CE⊥AB于E，
∵tan∠ABC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2CE，
∵CE²+BE²=BC²，
∴5CE²=10，
∴CE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，
设AC=x，AE=y，
∵AC²=AE²+CE²，即x²=y²+（$\sqrt{2}$）²，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{1}{2}$（y+2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={y}^{2}+2}\\{3x=\sqrt{2}（y+2\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{7}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{7}}\end{array}\right.$，
∴A₁（3，0）或A₂（$\frac{17}{7}$，0），
把A（-3，0），C（-1，0）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3；
把A（$\frac{17}{7}$，0），C（-1，0）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{289}{49}a+\frac{17}{7}b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{21}{17}}\\{b=\frac{72}{17}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{21}{17}$x²+$\frac{72}{17}$x+3；
故抛物线的解析式为y=x²+4x+3或y=$\frac{21}{17}$x²+$\frac{72}{17}$x+3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，直角三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形面积的应用，待定系数法求抛物线的解析式等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．