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16.抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B,与x轴负半轴交于点A、C(点A在C的左侧),C(-1,0),tan∠ABC=$\frac{1}{2}$,求抛物线的解析式.

分析 由抛物线的解析式求得B的坐标,得出OB=3,根据勾股定理求得BC,作CE⊥AB于E,根据tan∠ABC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$,得出BE=2CE,根据勾股定理求得CE=$\sqrt{2}$,BE=2$\sqrt{2}$,设AC=x,AE=y,根据勾股定理AC2=AE2+CE2,即x2=y2+($\sqrt{2}$)2,根据三角形面积得出S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{1}{2}$(y+2$\sqrt{2}$)×$\sqrt{2}$,联立方程,即可求得AC的长,从而求得A的坐标,然后,根据待定系数法即可求得抛物线的解析式.

解答 解:∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B,
∴B(0,3),
∴OB=3,
∵C(-1,0),
∴OC=1,
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
作CE⊥AB于E,
∵tan∠ABC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$,
∴BE=2CE,
∵CE2+BE2=BC2
∴5CE2=10,
∴CE=$\sqrt{2}$,BE=2$\sqrt{2}$,
设AC=x,AE=y,
∵AC2=AE2+CE2,即x2=y2+($\sqrt{2}$)2,S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{1}{2}$(y+2$\sqrt{2}$)×$\sqrt{2}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={y}^{2}+2}\\{3x=\sqrt{2}(y+2\sqrt{2})}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{7}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{7}}\end{array}\right.$,
∴A1(3,0)或A2($\frac{17}{7}$,0),
把A(-3,0),C(-1,0)代入y=ax2+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3;
把A($\frac{17}{7}$,0),C(-1,0)代入y=ax2+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{289}{49}a+\frac{17}{7}b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{21}{17}}\\{b=\frac{72}{17}}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=$\frac{21}{17}$x2+$\frac{72}{17}$x+3;
故抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=$\frac{21}{17}$x2+$\frac{72}{17}$x+3.

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点,直角三角函数的应用,勾股定理的应用,三角形面积的应用,待定系数法求抛物线的解析式等,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.

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