Question

已知：抛物线y=x2-mx+

m2

2

与抛物线y=x2+mx-

3

4

m2在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点．
（1）试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；
（2）若A、B两点到原点的距离AO、OB满足

1

OB

-

1

OA

=

2

3

，求经过A、B两点的这条抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）只需令每一条抛物线的解析式等于0，计算每一个方程的判别式△的值，使△＞0的即为所求；
（2）如果设点A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁、x₂是方程x²+mx-

3

4

m2=0的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系及已知条件

1

OB

-

1

OA

=

2

3

，可求出m的值，进而得到抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线不过原点，
∴m≠0．
令x²-mx+

m2

2

=0，
∴△₁=（-m）²-4×

m2

2

=-m²＜0，与x轴没有交点．
令x²+mx-

3

4

m2=0，
∵△₂=m²-4（-

3

4

m2）=4m²＞0，
∴抛物线y=x²+mx-

3

4

m2经过A、B两点；

（2）设点A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁、x₂是方程x²+mx-

3

4

m2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-

3

4

m2，
∵AO=-x₁，OB=x₂，
∵

1

OB

-

1

AO

=

2

3

，
∴

1

x2

-

1

-x1

=

2

3

，
∴

x1+x2

x1•x2

=

2

3

，
∴

-m

- 3 4 m2

=

2

3

，
解得m=2，经检验，m=2是方程的解．
∴所求抛物线的解析式为y=x²+2x-3．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系．