【题目】如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长． 
【答案】解：∵△ABC中，AB=4，点M为AB的中点，
∴AM=2．
当△AMN∽△ABC时， 
= 
，即 
= 
，解得MN= 
；
当△AMN∽△ACB时， 
= ，即 
= ，解得MN=3．
∴MN的长为： 或3
【解析】先根据M是AB的中点得出AM=2，再分△AMN∽△ABC与△AMN∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定的相关知识，掌握相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．
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【题目】定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC= 
，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
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【题目】探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD．各活动小组探索∠APC 与∠A，∠C之间的数量关系．已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．
智慧小组是这样思考的：过点 P 作 PQ∥AB，……
（1）请你按照智慧小组作的辅助线完成证明过程．
（2）①在图2中，猜测∠APC与∠A，∠C 之间的数量关系，并完成证明．
②如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的数量关系为 ．（直接填空）
（3）善思小组提出：如图4，图5．AB∥CD，AF，CF分别平分∠BAP，∠DCP
①在图4中，猜测∠AFC与∠APC之间的数量关系，并证明．
②在图5中，∠AFC与∠APC之间的数量关系为 ．（直接填空）
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【题目】为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时(含2小时)，4～6小时(含4小时)，6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为 °；
(3)若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
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【题目】“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．
（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？
（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了
a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了
分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了
a%，求a的值．
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【题目】如图，直线l1：y1=-
x+m与y轴交于点A(0，6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(-2，0)，与y轴交于点C，两条直线l1、l2相交于点D，连接AB．
(1)求两直线l1、l2交点D的坐标；
(2)求△ABD的面积．
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【题目】如图，在ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点，连结AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连结EF．
（1）若DG＝8，求对角线AC的长；
（2）求证：AF+FG＝
EF．
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