Question

已知: 关于的方程①.（n≠0）

（1）求证: 方程①必有实数根;

（2）若，为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于的二次函数的解析式；

（3）若把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5 (点C在第一象限)； 将△ABC沿x轴平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.

Answer 1

证明：（1）当m=0时，x=1

当m≠0时，∵

         ∴

             =

             =                                      

         ∵无论n取何值时，都有

         ∴

          （2）

         ∴

∴方程①有一个实数根为.                         

     由题意可知：方程①的另一个根为

      ∵，为正整数且方程①有两个不相等的整数根

∴

∴二次函数的解析式：            

（3）由题意可知：AB=3，

     由勾股定理得：AC=4

     ∴C点的坐标为（1，4）

    当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）

    ∵ C在抛物线上

    ∴

∴     ∴                                 

∴△ABC平移的距离：或