Question

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限内，把△OAB绕点O顺时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）得到△OA′B′（点A与点A′对应，点B与点B′对应）．

（1）如图1，OB＞OA，当旋转到B′、A′、B三点共线时，∠OBA=90°-$\frac{1}{2}$θ（用含θ的代数式表示）；
（2）如图2，当A′B′与AB相交时，设交点为P，判断OP与∠APB′的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，若点A的坐标为（-10，0），点B的坐标为（-6，3），在旋转的过程中，线段AB的延长线与线段B′A′的延长线交于点G，当BB′∥x轴时，点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠ABA′+∠AOA′=180°，由OB=OB′，再证明∠OBB′=∠B′=∠ABO，可得2∠ABO+θ=180°，由此即可解决问题．
（2）结论：OP平分∠APB′；如图2中，连接OP，作OE⊥A′B′于E，OF⊥AB于F．只要证明OE=OF即可解决问题．
（3）如图3中，作B′M⊥x轴于M，延长MB′到A″所得B′A″=5，连接OA″，作BN⊥OA于N．利用重合法证明A′与A″重合，求出直线AB的解析式即可求出点G的坐标．

解答 解：（1）如图1中，

∵△OA′B′是由△OAB旋转所得，
∴∠OA′B′=∠OAB，∠ABO=∠B′，
∵B′、A′、B三点共线，
∴∠BA′O+∠OA′B′=180°，
∴∠OAB+∠OA′B=180°，
∴∠ABA′+∠AOA′=180°，
∵OB=OB′，
∴∠OBB′=∠B′=∠ABO，
∴2∠ABO+θ=180°，
∴∠ABO=90°-$\frac{1}{2}$θ；
故答案为90°-$\frac{1}{2}$θ．

（2）结论：OP平分∠APB′．理由如下：
如图2中，连接OP，作OE⊥A′B′于E，OF⊥AB于F．

∵△OAB≌△OA′B′，
∴OE=OF，
∴∠OPE=∠OPF，
∴OP平分∠APB′；

（3）如图3中，作B′M⊥x轴于M，延长MB′到A″所得B′A″=5，连接OA″，作BN⊥OA于N．

∵A（-10，0），B（-6，3），BB′∥AM，OB=OB′，
∴OA=10，NB=3，AN=4，B′（6，3），
∴OM=6，BM′=3，
 在Rt△ABN中，∵AN=6，BN=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
在Rt△OA″M中，∵OM=6，MA″=8，
∴OA″=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OA=OB′，B′A″=AB，OA″=OA，
∴△OB′A″≌△OBA，
∴A′与A″重合，
∴A′B′⊥OM，
∵直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$，
∴G（6，12）．

点评 本题考查三角形综合题、旋转变换、全等三角形的判断和性质、四边形内角和定理、一次函数的应用、勾股定理、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用重合法解决有关问题，属于中考压轴题．