Question

矩形ABCD中，AD＝2，2＜AB＜4，现将一个直径MN为2的量角器如图1摆放，使其0°线的端点N与C重合，M与B重合，O为MN的中点，量角器的半圆弧与矩形ABCD的对角线AC、BD分别交于P、Q，设P、Q在量角器上的读数分别是x、y．

(1)求y与x之间的函数关系式．(不必写出自变量的取值范围)．

(2)将量角器绕C点逆时针旋转，使它的直径落在AC上，如图2所示，为的中点，此时量角器的半圆弧交DC于K，若K点的读数为z，那么z与y的数量关系是什么，请说明理由．

(3)如图2所示，若∥KO，求出此时AB的长．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)连结OQ、OP 　　∵ABCD是矩形， 　　∴AC＝BD． 　　∴BE＝CE． 　　∴∠EBO＝∠OCE 　　∵OQ＝OB， 　　∴∠EBO＝∠OQB． 　　∴∠BOQ＝180°－2∠EBO． 　　同理可证 　　∠COP＝180°－2∠OCE． 　　∴∠BOQ＝∠COP＝x°．　　2分 　　∴y°＝∠COQ＝180°－∠BOQ＝180°－x° 　　∴y＝180－x．　　3分 　　(2)z与y的数量关系是：z＝y　　4分 　　如下图，连结K、OP、OQ． 　　∵∠ACD＋∠BCA＝90°， 　　∴∠ACD＝90°－∠BCA． 　　∴z°＝180°－2∠ACD 　　＝180°－2(90°－∠BCA ) 　　＝2∠BCA 　　＝180°－∠COP．　　 　　∴z＝180－x． 　　∵y＝180－x, 　　∴z＝y．　　5分 　　(3)如下图，连结B、K、KO 　　∵C是量角器的直径， 　　∴∠KC＝90°． 　　∵∠BCD＝90°， 　　∴∠KC＋∠BCD＝180°． 　　∴BO∥K． 　　∵B∥KO， 　　∴KOB是平行四边形，　　6分 　　∴K＝BO＝BC＝1． 　　∵C＝MN＝2， 　　∴K＝C． 　　∴∠ACD＝30°．　　7分 　　∴AC＝4 　　∴ 　　∴与对角线的交点重合如下图， 　　在Rt△ADC中， 　　∵AD＝2， 　　∴DC＝2． 　　∵ABCD是矩形， 　　∴DC＝AB＝2．　　8分