Question

小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏(如图)，两个人越玩越开心．小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果咱俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘到1.25米高，甚至更高！”

(1)你认为小胖的说法对吗？请你作图分析说明；

(2)你能否找出将小瘦翘到1.25米高的方法？试说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)小胖的说法不对． 　　小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图所示．OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最大高度，长为1米，BC是地面． 　　因为OP⊥BC，AC⊥BC，所以OP∥AC．所以△OBP∽△ABC． 　　所以＝． 　　又因为此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA，所以＝． 　　由AC＝1米，得OP＝0.5米． 　　若将两端都再伸长相同的一段长度，假设为a米(a＞0)，如图所示． 　　因为BO＝OA，所以BO＋a＝OA＋a，即DO＝OE．所以＝． 　　同理可得△DOP∽△DEF．所以＝． 　　由OP＝0.5米，得EF＝1米． 　　综上所述，跷跷板两边都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最大高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高． 　　(2)能够找出将小瘦翘到1.25米高的方法． 　　方案一：如图，保持BO的长度不变，将OA延长一半至点E，即只将小瘦所在的一边伸长一半，使AE＝OA，则＝． 　　由△BOP∽△BEF，得＝． 　　所以EF＝1.25米． 　　方案二：如图，只需将支架升高0.125米． 　　因为＝，△∽△，所以＝． 　　又因为＝0.5＋0.125＝0.625(米)， 　　所以＝1.5米． 　　点评：本题以玩跷跷板游戏为背景进行命题，情景生动有趣，灵活地考查了相似三角形知识的应用，特别是(2)中的探究方案，尽管难度不大，但是问题具有一定的开放性和新颖性，对创新思维的能力要求较高．解决本题的关键是善于从实际情景中抽象出相似三角形的模型，并且结合相似三角形的性质、判定探索出问题的答案．