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19.已知:如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)求证:AC=BD;
(2)求证:OE平分∠AED.

分析 (1)先证明∠AOC=∠BOD,依据SAS可证明△AOC和△BOD全等,由全等三角形的性质可知AC=BD;
(2)连接BA、CD,由全等三角形的性质可知∠ACO=∠BDO从而可证明点E、O、D、C共圆,由圆周角定理可知∠OED=∠OCD,同理可证∠AEO=∠ABO,然后由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠ABO=∠DCO相等即可.

解答 证明:(1)∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOC=∠BDO.
在△AOC和△BOD中$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BDO}\\{CO=DO}\end{array}\right.$,
∴△AOC≌△BOD.
∴AC=BD.
(2)连接BA、CD.

∵△AOC≌△BOD,
∴∠ACO=∠BDO,∠OAC=∠OBD.
∵∠ACO和∠BDO在OE的同侧,且∠ACO=∠BDO,
∴点E、O、D、C共圆.
∴∠OED=∠OCD.
同理:∠AEO=∠ABO.
∵OC=OD,
∴∠CCD=∠ODC.
∴∠COD=$\frac{1}{2}(180°-∠COD)$.
同理:∠ABO=$\frac{1}{2}(180°-∠AOB)$.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠COD=∠ABO.
∴∠AEO=∠DEO.
∴EO平分∠AED.

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理,分别证得E、O、D、C共圆以及点A、B、E、O共圆是解题的关键.

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